Уравнение Шрёдингера, сформулированное в 1926 году австрийским физиком Эрвином Шрёдингером, представляет собой основной закон движения в нерелятивистской квантовой механике. Это дифференциальное уравнение описывает эволюцию волновой функции ψ(r,t), которая содержит всю информацию о квантовом состоянии системы. В отличие от классической механики, где состояние частицы задаётся её положением и импульсом, квантовая механика оперирует вероятностными понятиями: квадрат модуля волновой функции |ψ(r,t)|² определяет плотность вероятности обнаружения частицы в точке r в момент времени t.
Исторически уравнение Шрёдингера появилось как развитие идей де Бройля о волновой природе материи. Шрёдингеру удалось найти математическую форму, связывающую волновые свойства частиц с их динамическим поведением во внешних полях. Его работа стала революцией в физике, заменив классические траектории на вероятностные описания и открыв путь к пониманию атомной и субатомной физики.
Физический смысл уравнения Шрёдингера можно понять, рассматривая его как квантовый аналог закона сохранения энергии. В классической механике полная энергия E равна сумме кинетической и потенциальной энергий: E = p²/2m + V(r). Уравнение Шрёдингера по существу представляет собой эту же связь, но выраженную через операторы, действующие на волновую функцию.
Вывод временного уравнения Шрёдингера
Рассмотрим вывод уравнения Шрёдингера, исходя из основных постулатов квантовой механики. Для свободной частицы (V = 0) волновая функция должна описывать плоскую волну де Бройля:
ψ(r,t) = Aexp[i(p·r — Et)/ħ]
где p — импульс частицы, E — её энергия, ħ — постоянная Планка, делённая на 2π. Продифференцируем эту функцию по времени:
∂ψ/∂t = -iE/ħ ψ
Теперь подействуем оператором Лапласа на волновую функцию:
∇²ψ = -p²/ħ² ψ
Из классического соотношения E = p²/2m (для свободной частицы) получаем:
iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²ψ
Это уравнение Шрёдингера для свободной частицы. Для случая, когда на частицу действует потенциальное поле V(r), добавляем соответствующий член:
iħ∂ψ/∂t = [-ħ²/2m ∇² + V(r)]ψ
Это и есть общее временное уравнение Шрёдингера. Оператор в квадратных скобках называется гамильтонианом Ĥ системы. Таким образом, уравнение можно компактно записать как:
iħ∂ψ/∂t = Ĥψ
Стационарное уравнение Шрёдингера
В случае, когда потенциал V не зависит от времени, можно разделить переменные, представив волновую функцию в виде произведения ψ(r,t) = φ(r)f(t). Подстановка в временное уравнение приводит к двум уравнениям:
iħdf/dt = Ef
[-ħ²/2m ∇² + V(r)]φ = Eφ
Первое уравнение легко решается: f(t) = exp(-iEt/ħ). Второе уравнение называется стационарным уравнением Шрёдингера и определяет пространственную часть волновой функции. Оно имеет вид собственного значения для гамильтониана:
Ĥφ = Eφ
Решения этого уравнения дают возможные значения энергии E (энергетический спектр системы) и соответствующие им волновые функции φ(r).
Решение уравнения Шрёдингера для простых потенциалов
Рассмотрим несколько характерных примеров решения стационарного уравнения Шрёдингера для различных потенциалов.
- Частица в одномерной потенциальной яме:
Потенциал V(x) = 0 при 0 < x < L и V(x) = ∞ вне этого интервала. Уравнение внутри ямы:
-ħ²/2m d²φ/dx² = Eφ
Граничные условия: φ(0) = φ(L) = 0. Решение:
φₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L)
Eₙ = n²π²ħ²/(2mL²), n = 1,2,3,…
- Гармонический осциллятор:
Потенциал V(x) = mω²x²/2. Решение даёт волновые функции в виде произведений полиномов Эрмита на гауссову функцию:
φₙ(x) = (mω/πħ)^(1/4) (2ⁿn!)^(-1/2) Hₙ(√(mω/ħ)x) exp(-mωx²/2ħ)
Eₙ = ħω(n + 1/2)
- Водородоподобный атом:
Потенциал V(r) = -Ze²/(4πε₀r). Решение в сферических координатах приводит к радиальным функциям, связанным с полиномами Лагерра, и сферическим гармоникам:
φₙₗₘ(r,θ,φ) = Rₙₗ(r)Yₗₘ(θ,φ)
Eₙ = -Z²e⁴m/(32π²ε₀²ħ²n²)
Эти примеры демонстрируют, как уравнение Шрёдингера позволяет получить квантованные энергетические уровни и соответствующие волновые функции для различных физических систем.
Физическая интерпретация решений
Волновая функция ψ(r,t), являясь решением уравнения Шрёдингера, не имеет прямого физического смысла — это комплекснозначная величина. Однако квадрат её модуля |ψ(r,t)|² интерпретируется как плотность вероятности обнаружения частицы в точке r в момент времени t. Это так называемая вероятностная интерпретация, предложенная Борном.
Для стационарных состояний плотность вероятности не зависит от времени: |ψ(r,t)|² = |φ(r)|². Это означает, что хотя сама волновая функция «колеблется» с частотой ω = E/ħ, распределение вероятностей остаётся постоянным — отсюда и название «стационарные состояния».
Уравнение Шрёдингера является линейным, поэтому любая линейная комбинация решений также будет решением. Это свойство лежит в основе принципа суперпозиции квантовых состояний — одной из наиболее необычных и глубоких особенностей квантовой механики.
Математические аспекты и методы решения
С математической точки зрения уравнение Шрёдингера представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных. Для его решения применяются различные методы, в зависимости от вида потенциала V(r).
Для стационарного уравнения с центрально-симметричным потенциалом (как в атоме водорода) используют разделение переменных в сферических координатах, приводящее к радиальному и угловому уравнениям. Угловая часть всегда даёт сферические гармоники Yₗₘ(θ,φ), а радиальная часть зависит от конкретного вида потенциала.
В одномерных задачах часто применяют метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами или специальные функции (полиномы Эрмита, Лежандра и др.). Для приближённого решения сложных задач используют вариационные методы или теорию возмущений.
Важной особенностью уравнения Шрёдингера является то, что оно описывает эволюцию волновой функции во времени детерминированно — если известно ψ в начальный момент, можно точно найти ψ в любой последующий момент. Однако результат измерения, производимого над квантовой системой, принципиально случаен и определяется вероятностным распределением |ψ|².
Примеры решения конкретных задач
Задача 1: Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L.
Как было показано выше, решение даёт дискретные уровни энергии Eₙ = n²π²ħ²/(2mL²) и волновые функции φₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L). Физический смысл: частица может находиться только в определённых энергетических состояниях, переход между которыми сопровождается излучением или поглощением кванта энергии.
Задача 2: Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Рассмотрим частицу с энергией E, налетающую на потенциальный барьер высоты V₀ > E. Классически частица должна отразиться, но квантовая механика предсказывает ненулевую вероятность прохождения (туннельный эффект). Решение показывает, что коэффициент прохождения T ~ exp(-2∫√[2m(V(x)-E)]/ħ dx). Это явление объясняет многие эффекты в физике твёрдого тела и ядерной физике.
Задача 3: Двухатомная молекула как гармонический осциллятор.
При малых колебаниях потенциал можно аппроксимировать параболой V(x) ≈ kx²/2. Решение даёт равноотстоящие уровни энергии Eₙ = ħω(n+1/2), где ω = √(k/μ), μ — приведённая масса. Это объясняет спектры колебаний молекул в инфракрасной области.
Современные приложения и развитие теории
Уравнение Шрёдингера лежит в основе современной квантовой химии, позволяя рассчитывать электронную структуру молекул и твёрдых тел. Методы типа «функционала плотности» (DFT) являются развитием исходного подхода Шрёдингера для многоэлектронных систем.
В квантовой информатике решения уравнения Шрёдингера описывают эволюцию кубитов — элементарных носителей квантовой информации. Управление этой эволюцией позволяет реализовать квантовые алгоритмы.
Релятивистское обобщение уравнения Шрёдингера привело к уравнению Дирака, которое описывает частицы со спином 1/2 и предсказало существование антиматерии. В квантовой теории поля используется более общий формализм, но уравнение Шрёдингера сохраняет своё значение как нерелятивистский предел.
Современные исследования фокусируются на нелинейных обобщениях уравнения Шрёдингера, квантовом хаосе, многочастичных системах с взаимодействиями. Эти направления открывают новые горизонты в понимании сложных квантовых систем.